Denominatore comune dell’attività scientifica è la formulazione e analisi di modelli matematici non lineari applicati prevalentemente a problemi di tipo ambientale (si vedano i lavori [R19], [R18], [R16], [R13] – [R9], [R7], [R4] – [R1] e [C5] – [C2]).
In certi casi tali modelli sono poi utilizzati per determinare opportune politiche di controllo. In altri casi, invece, un’ulteriore analisi dei modelli viene realizzata mediante strumenti propri della dinamica differenziata.
In particolare, l’attività di ricerca si articola secondo le seguenti direttrici:
A. Modellistica e analisi di sistemi non lineari
Per affrontare efficacemente molti problemi conviene fare uso di modelli matematici che, per molti fenomeni, apparentemente diversi tra loro, sono costituiti da sistemi dinamici non lineari.
Lo studio del comportamento asintotico di tali sistemi è pertanto un argomento di grande e indubbio interesse in molti settori dell’ingegneria e delle scienze, sia dal punto di vista teorico che dal punto di vista delle applicazioni.
La metodologia applicata per lo studio di tali comportamenti è l’analisi delle biforcazioni di una classe parametrizzata di sistemi dinamici. Tale metodologia consiste nell’individuare il quadro di biforcazioni, vale a dire classificare le regioni nello spazio dei parametri in cui il comportamento dinamico del sistema sia qualitativamente lo stesso. Più precisamente, lo studio del quadro delle biforcazioni permette di studiare la stabilità strutturale a variazioni parametriche dei possibili comportamenti dinamici del sistema e le transizioni tra essi.
L'attività di ricerca svolta ha permesso di applicare tale metodologia di analisi a numerosi modelli matematici riguardanti fenomeni relativi a diversi settori delle scienze: dall’ambiente ([R16], [R13] – [R9], [R7], [R4] – [R1] e [C5] – [C2]) alla chimica ([R20] e [O2]), dalla psicologia ([R8], [R5], e [PB1]) alla sociologia ([R25], [R16], [R6], [PB2] e [C1]).
B. Controllo/gestione di sistemi dinamici non lineari
Il metodo illustrato al punto precedente è utilizzato come base per il controllo (o gestione nel caso di problematiche ambientali) sia in anello aperto che chiuso dei sistemi dinamici non lineari.
Per quanto riguarda il controllo in anello aperto, i risultati ottenuti sono discussi nei lavori [R11], [R10] e [C2]. Il lavoro [R11] è relativo alla gestione dell’eutrofizzazione degli ambienti acquatici. Il modello descrive la dinamica di una catena alimentare fitoplancton-zooplancton in cui le variabili di controllo sono il nutriente e i pesci (che si nutrono di zooplancton). Il modello presenta comportamenti dinamici assai complessi e mostra che l’eutrofizzazione può essere evitata quando i pesci sono presenti in quantità modesta o bassa purché lo zooplancton sia selettivo nella scelta del tipo di fitoplancton di cui nutrirsi.
I lavori [R10] e [C2] sono relativi agli effetti dell’arricchimento nelle catene alimentari all’interno di un chemostato. Le variabili di controllo del chemostato sono la portata in ingresso D e la concentrazione di nutriente in ingresso u. Aumentare il loro prodotto ( Du) equivale ad arricchire la catena alimentare alla sua base. La variabile di uscita è la produzione media al top della catena alimentare che, ovviamente, si vuole massimizzare. Il modello mostra che, arricchendo, la complessità dinamica del chemostato prima aumenta (da equilibrio a ciclo e, infine, a caos) e poi diminuisce (“paradosso dell’arricchimento”) e che la massima produzione si ha in corrispondenza della massima complessità del sistema.
Per quanto riguarda il controllo dei sistemi non lineari in anello chiuso, i risultati ottenuti sono discussi in tre lavori. Il primo lavoro è relativo agli effetti di differenti politiche di gestione dell’inquinamento ambientale. Il modello descrive le interazioni tra risorse naturali, inquinamento ambientale e capitale rivolto al controllo dell’inquinamento. Sono distinte due politiche di controllo: la prima in cui i nuovi investimenti sono funzione dell’abbondanza della risorsa naturale, la seconda in cui tali investimenti si basano sulla quantità di inquinante presente nell’ambiente. L’obiettivo del controllo è quello di mantenere la risorsa naturale al di sopra di un standard ambientale. La seconda politica è da preferirsi alla prima poiché, in quest’ultimo caso, piccole variazioni parametriche possono portare al collasso della risorsa. I risultati ottenuti sono riassunti in [R2].
Il secondo lavoro è relativo alla minimizzazione dei danni dovuti alle esplosioni di insetti in foreste naturali o sfruttate e alla regolarizzazione della loro evoluzione temporale. La variabile di controllo u del sistema è il numero di insettivori. Il modello presenta esplosioni di insetti ricorrenti ma aperiodiche; tuttavia, la casualità di questi episodi devastanti è un tipo particolare di caos deterministico, noto come dinamica picco-picco, dal momento che l’intensità di un’esplosione può essere predetta da quella dell’episodio che l’ha preceduta. Questo fatto permette di risolvere alcuni problemi, tra cui la minimizzazione dei danni dovuti alle esplosioni degli insetti e la regolarizzazione della loro evoluzione temporale, fissando il controllo u tra un’esplosione e la successiva a un valore determinato dalle informazioni relative alle esplosioni precedenti. I risultati ottenuti sono riassunti in [R13].
Infine, il lavoro [C1] è relativo al controllo del mercato della droga. Il modello descrive le interazioni tra tossicodipendenti e spacciatori nel mercato della droga controllato dallo Stato attraverso una variabile di controllo u che misura l’entità degli sforzi repressivo e di recupero. L’obiettivo del controllo è quello di mantenere il consumo di droga sufficientemente basso. L’analisi mostra che la migliore prestazione corrisponde all’instaurarsi di una situazione periodica in cui a lunghi periodi di consumo elevato se ne alternano altri di consumo pressoché assente.
C. Analisi di sistemi a dinamica differenziata
Il metodo delle perturbazioni singolari è utilizzato per lo studio di sistemi aventi variabili di stato che evolvono con differente velocità. Più in dettaglio, la dinamica di un sistema lento-veloce può essere studiata analizzando le biforcazioni del sottosistema veloce e “sovrapponendo” ai risultati ottenuti la dinamica del sottosistema lento. Tale metodologia è stata applicata per spiegare le transizioni di regime nella reazione di Belousov-Zhabotinskii in un reattore chiuso e perfettamente miscelato (batch), i cui risultati sono riassunti in [R20] e [O2].
Quando il sottosistema veloce presenta attrattori multipli e biforcazioni catastrofiche rispetto alla variabile lenta, allora, se la varietà lenta separa tali biforcazioni in modo opportuno, si può dimostrare l’esistenza di un ciclo limite composto dalla concatenazione di transizioni lente e veloci. Tale metodo è noto come “principio di separazione”
Durante l’attività di ricerca svolta, il principio di separazione è stato applicato in vari settori, tra cui lo studio di modelli riguardanti problematiche ambientali (si veda, per esempio, il lavoro [R20]), quale quello delle politiche di controllo dell’inquinamento ambientale, i cui risultati sono riassunti in [R2], o sociali, quale quello del mercato della droga i cui risultati sono riassunti in [C1].
Infine, la teoria delle perturbazioni singolari permette di spiegare formalmente il fenomeno del ritardo di tempo intercorrente tra il superamento di una biforcazione per il sottosistema veloce e l’effettivo cambiamento di comportamento del sistema (“biforcazioni dinamiche”). Si possono ottenere espressioni analitiche che permettano di valutare tale ritardo ed è possibile effettuare un’analisi di sensitività rispetto ai parametri caratteristici del sistema e alle condizioni iniziali. L’analisi del ritardo di tempo è stata effettuata su un modello che descrive le interazioni tra politiche economiche e sviluppo delle risorse naturali. I risultati sono riassunti in [R7].
D. Analisi di sistemi dinamici discontinui
L’analisi di dinamiche complesse generate da sistemi non lineari è un argomento di interesse notevole per la comunità scientifica internazionale in settori anche molto diversificati (meccanica, elettronica, economia, ecologia, chimica...).Il più delle volte i fenomeni fisici vengono descritti mediante sistemi dinamici continui, ovvero sistemi dinamici in cui le relazioni tra le variabili caratteristiche (variabili di stato) sono regolari. Per questo tipo di sistemi sono stati sviluppati negli ultimi decenni diversi metodi di simulazione e di analisi. In particolare, tra i metodi di analisi, uno tra i più efficaci è quello dell’analisi delle biforcazioni che consente di classificare i possibili comportamenti dinamici del sistema al variare di uno o più parametri caratterizzanti il sistema. Tuttavia numerosi fenomeni fisici possono essere per loro natura più realisticamente descritti mediante sistemi dinamici discontinui, ovvero sistemi dinamici in cui le relazioni tra le variabili di stato sono regolari all’interno di sottoregioni dello spazio di stato ma subiscono delle discontinuità nelle frontiere di queste regioni. Esempi di sistemi dinamici discontinui si incontrano in molti settori delle scienze dell’ingegneria: nei sistemi meccanici, dove l’attrito tra due superfici cambia in modo discontinuo con la velocità relativa delle due superfici; nei sistemi elettrici, dove dispositivi elettrici ed elettronici sono sistematicamente modellati come sistemi dinamici discontinui ogni qualvolta contengono diodi e transistor; nel controllo dei processi, dove sono usati regolatori di tipo on-off. Infine, interessanti problemi riguardanti i sistemi dinamici discontinui possono esser formulati anche in economia, medicina e biologia. Per i sistemi discontinui non sono stati ancora sviluppati metodi di analisi veramente efficaci. I primi tentativi di formalizzare la dinamica di tali sistemi risalgono a Filippov (nel 1964) mentre successivi studi hanno affrontato l’estensione della teoria delle biforcazioni dei sistemi continui al caso dei sistemi discontinui. Tuttavia, tale estensione è ben lontana dall’essere completa.
Durante l’attività di ricerca svolta finora, è stato proposto un primo catalogo completo delle biforcazioni nel caso più semplice dei sistemi del secondo ordine (i risultati sono riassunti in [R14]). Inoltre è stato affrontato il problema del controllo dello sfruttamento delle risorse naturali (i risultati sono riassunti in [R17], [C5] e [C3]) e quello della coevoluzione di due tratti caratterizzanti un modello risorsa-consumatore (i risultati sono riassunti in [R21]). Altri lavori sono tuttora in corso sia dal punto di vista teorico che applicativo per sistemi di ordine superiore.